Tento článek není dostatečně
ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba
ověřit.
Jste-li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit uvedená tvrzení doplněním
referencí na
věrohodné zdroje.
Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.
Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.
Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic
, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti
může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.
,
kde
je dimenze prostoru a funkce
(tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru
.
Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice
jako
. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru
jako
,
kde
jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic
. Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.
Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{k=1}^{D}A_{k}B_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab65c92909932d1f35dabac13be9229d8e87b68)
Tedy např. integrál po křivce
má v ortogonálních souřadnicích tvar
,
kde
je složka vektoru
ve směru
-tého jednotkového vektoru
![{\displaystyle F_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef3c082364319924285752e6d64c149cf856ae0)
Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát
, kde
, a pro infinitezimální element objemu
, kde
a
. Např. integrál přes plochu
ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar
![{\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathcal {S}}F_{1}h_{2}h_{3}\mathrm {d} q_{2}\mathrm {d} q_{3}+\int _{\mathcal {S}}F_{2}h_{3}h_{1}\mathrm {d} q_{3}\mathrm {d} q_{1}+\int _{\mathcal {S}}F_{3}h_{1}h_{2}\mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafb0ed2381d1127deeac53146e1a1710a6cef5b)
Diferenciální operátory ve třech rozměrech[editovat | editovat zdroj]
Gradient lze vyjádřit jako
![{\displaystyle \nabla \Phi ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d40b3e98c70b3339c550c95b7b2d265c02de8b1)
Laplaceův operátor má tvar
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f098d60452dd55605d5b1856cad716146fefb392)
Operátor divergence se zapíše jako
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9169f4cffbf566d1e3e44f04bac6413dabe690)
kde
je
-tá složka vektoru
.
Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdf177f6075fbb21500c35db0c8742e7b2eacca)
Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]
Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic[editovat | editovat zdroj]